निश्चित समाकल int_{0}^{frac{pi}{4}} frac{sin | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\cos ^{4} x+\sin ^{4} x} d x$. अंश और हर को $\cos^{4} x$ से विभाजित करने पर: $I = \int_{0}

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$\frac{\pi}{8}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\cos ^{4} x+\sin ^{4} x} d x$. अंश और हर को $\cos^{4} x$ से विभाजित करने पर: $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{	an x \sec^{2} x}{1+	an^{4} x} d x$. माना $	an^{2} x = t$. तब $2 	an x \sec^{2} x d x = d t$,जिसका अर्थ है $	an x \sec^{2} x d x = \frac{1}{2} d t$. जब $x = 0$,तब $t = 	an^{2} 0 = 0$. जब $x = \frac{\pi}{4}$,तब $t = 	an^{2} \frac{\pi}{4} = 1$. इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{d t}{1+t^{2}}$. मानक समाकल $\int \frac{1}{1+t^{2}} d t = 	an^{-1} t$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{2} [	an^{-1} t]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (	an^{-1} 1 - 	an^{-1} 0) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$.

निश्चित समाकल $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\cos ^{4} x+\sin ^{4} x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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